Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud

Campo conceitualConjunto amplo e conectado de situações e conceitos.

EsquemaOrganização da ação para uma classe de situações.

InvariantesRelações consideradas verdadeiras durante a ação.

RepresentaçõesLinguagem, símbolos, diagramas e registros.

Ideia central

Um conceito matemático não se forma em uma única aula nem por meio de um único modelo de exercício. Ele se desenvolve quando o estudante encontra situações variadas, constrói esquemas de ação, explicita relações e aprende diferentes formas de representação.

Ensinar “adição” não significa apresentar apenas contas de juntar. Situações de transformação, comparação, composição e busca de estados desconhecidos mobilizam relações distintas, mesmo quando a operação numérica final parece igual.

O conceito como uma tríade

S — SituaçõesProblemas que dão sentido ao conceito e exigem diferentes formas de raciocínio.

I — Invariantes operatóriosConceitos-em-ação e teoremas-em-ação usados pelo estudante, ainda que não estejam verbalizados.

R — RepresentaçõesPalavras, desenhos, tabelas, equações e símbolos que permitem expressar e operar o conhecimento.

O professor precisa observar as três dimensões. Um aluno pode calcular corretamente sem compreender a relação, ou compreender a situação e ainda não dominar a representação simbólica.

Estruturas aditivas

Problemas que podem envolver adição ou subtração apresentam estruturas semânticas diferentes. Variar apenas os números não é suficiente.

ComposiçãoDuas ou mais partes formam um todo. Ex.: 18 meninas e 15 meninos formam quantos estudantes?

TransformaçãoUm estado inicial sofre ganho ou perda. Ex.: havia 32; saíram 9; quantos restaram?

ComparaçãoDuas quantidades são relacionadas. Ex.: Ana tem 8 a mais que Rui.

Composição de transformaçõesGanhos e perdas sucessivos são relacionados sem que todos os estados sejam conhecidos.

Estruturas multiplicativas

Proporção simplesRelação entre duas grandezas, como preço e quantidade.

Comparação multiplicativaUma quantidade é certo número de vezes outra.

Produto de medidasCombinação de grandezas, como linhas × colunas ou comprimento × largura.

Divisão por partiçãoConhece-se o total e a quantidade de grupos; procura-se o tamanho de cada grupo.

Divisão por medidaConhece-se o total e o tamanho dos grupos; procura-se quantos grupos cabem.

Proporcionalidade múltiplaMais de duas grandezas variam conjuntamente.

Esquemas e invariantes operatórios

Objetivo e antecipações

O aluno interpreta o que precisa alcançar e prevê possíveis resultados.

Regras de ação

Seleciona procedimentos: desenhar, contar, calcular, comparar, organizar dados ou testar.

Conceitos-em-ação

Categorias consideradas pertinentes, como parte, todo, razão, estado inicial ou taxa.

Teoremas-em-ação

Proposições que o aluno toma como verdadeiras. Algumas são válidas; outras explicam erros persistentes e precisam ser discutidas.

Implicações para o planejamento

Organizar uma sequência com diversidade de estruturas, e não uma lista de enunciados quase idênticos.
Observar estratégias e representações antes de avaliar somente a resposta final.
Comparar problemas que usam a mesma operação, mas possuem relações diferentes.
Comparar problemas de mesma estrutura resolvidos por estratégias ou representações distintas.
Usar erros para inferir teoremas-em-ação e planejar intervenções.
Retomar conceitos ao longo do tempo em situações progressivamente mais complexas.

Exemplo para análise docente

Problema	Estrutura	Incógnita	Possível dificuldade
Há 24 livros de histórias e 17 de ciência. Quantos livros há?	Composição	Todo	Baixa, pois partes e todo estão explícitos.
Após ganhar 17 livros, a biblioteca ficou com 41. Quantos havia?	Transformação	Estado inicial	O verbo “ganhar” pode induzir soma direta.
A biblioteca A tem 41 livros, 17 a mais que B. Quantos tem B?	Comparação	Referente	Interpretação da relação “a mais que”.
Em cada caixa há 6 livros. Quantas caixas completam 42 livros?	Divisão por medida	Número de grupos	Distinguir quantidade de grupos e tamanho do grupo.

Exemplos resolvidos

A operação numérica não basta para classificar a situação. Observe a relação entre grandezas, estados e incógnitas.

Composição — 24 livros de histórias + 17 de ciência

As duas quantidades são partes de um mesmo todo: 24 + 17 = 41 livros. A incógnita é o todo.

Transformação — depois de ganhar 17, ficou com 41

O estado final é 41 e a transformação é +17. Para recuperar o estado inicial: 41 − 17 = 24 livros. O verbo “ganhar” não determina sozinho a operação direta.

Comparação — A tem 41, que são 17 a mais que B

A relação é A = B + 17. Portanto B = 41 − 17 = 24 livros. A dificuldade está em identificar o referente da comparação.

Divisão por medida — 42 livros, 6 por caixa

Conhecemos o tamanho de cada grupo (6) e buscamos quantos grupos cabem: 42 ÷ 6 = 7 caixas.

Referências primárias

As referências abaixo são textos do próprio Gérard Vergnaud ou capítulos de sua autoria usados para fundamentar as estruturas apresentadas nesta formação.

Vergnaud, G. (1990). La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques, 10(2–3), 133–170. Texto no site oficial.
Vergnaud, G. (1982). A Classification of Cognitive Tasks and Operations of Thought Involved in Addition and Subtraction Problems. Texto no site oficial.
Vergnaud, G. (1983). Multiplicative Structures, em Acquisition of Mathematics Concepts and Processes, pp. 127–175. Texto no site oficial.

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Vídeos e apresentação

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Material da formação

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