Ensino Médio · Geometria e Medidas
Volumes e princípio de Cavalieri
Investigue volumes por seções paralelas e alturas, incluindo a ideia de Cavalieri.
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Cavalieri compara seções
Dois sólidos estão entre os mesmos planos paralelos e, em todo nível, os cortes paralelos a esses planos têm áreas iguais. Pelo princípio de Cavalieri, os sólidos têm...
Dois sólidos estão entre os mesmos planos paralelos e, em todo nível, os cortes paralelos a esses planos têm áreas iguais. Pelo princípio de Cavalieri, os sólidos têm...
Uma pista
As seções paralelas são a chave.
Analise a relação.
Iguale seções e altura
Sólido A: seção 12, h=5. Ajuste B para seção 12 e h=5.
Seções correspondentes na mesma altura z =
Uma pista
Neste modelo, cada sólido tem seção horizontal de área constante em toda a altura; por isso V=A·h é o volume, não apenas uma aproximação.
Mova também a seção destacada: sólidos com contornos diferentes podem manter áreas correspondentes iguais.
Mesmo volume por modelo de camadas
A: seção 9,h=4. Ajuste B.
Seções correspondentes na mesma altura z =
Uma pista
Neste modelo, a área da seção horizontal é constante em toda a altura. Comparar um único corte de sólidos quaisquer não bastaria para aplicar Cavalieri.
Mova também a seção destacada: sólidos com contornos diferentes podem manter áreas correspondentes iguais.
Seções de área 6
A: seção 6,h=8. Ajuste B.
Seções correspondentes na mesma altura z =
Uma pista
Neste modelo, a área da seção horizontal é constante em toda a altura. Comparar um único corte de sólidos quaisquer não bastaria para aplicar Cavalieri.
Mova também a seção destacada: sólidos com contornos diferentes podem manter áreas correspondentes iguais.
Prisma
Área de base 15 e altura 4: volume?
Área de base 15 e altura 4: volume?
Uma pista
Prisma tem seções paralelas congruentes.
Resolva e confira.
Pirâmide
Comparada ao prisma de mesma base e altura, a pirâmide tem volume...
Comparada ao prisma de mesma base e altura, a pirâmide tem volume...
Uma pista
Cavalieri ajuda a justificar fórmulas.
Analise a relação.
Crie uma comparação
Compare um prisma reto e um oblíquo, ambos com área da base 10 m² e altura perpendicular 7 m. Explique por que suas seções horizontais têm a mesma área em todo nível, aplique Cavalieri e registre o volume de cada um. Depois compare cone e pirâmide de mesma altura e mesma área da base: usando semelhança, explique por que os cortes na mesma fração da altura têm áreas iguais. Não suponha que esses cortes sejam constantes.
Compare um prisma reto e um oblíquo, ambos com área da base 10 m² e altura perpendicular 7 m. Explique por que suas seções horizontais têm a mesma área em todo nível, aplique Cavalieri e registre o volume de cada um. Depois compare cone e pirâmide de mesma altura e mesma área da base: usando semelhança, explique por que os cortes na mesma fração da altura têm áreas iguais. Não suponha que esses cortes sejam constantes.
Uma pista
Explique por que inclinação lateral não muda o volume.
O valor é conferido; o texto requer leitura humana.
Investigação concluída.
Explique a generalização encontrada e teste outro caso.
Explorar outro assunto →Objetivo e orientações ao professor
EM13MAT504. Investigar volume por seções e altura, conectando o princípio de Cavalieri às fórmulas de sólidos.