Juros simples
A taxa é aplicada sempre ao capital inicial C.
M = C(1 + i·t)
Crescimento linear: o acréscimo por período é constante.
TEMA 34 · GRANDEZAS E MEDIDAS
Juros simples e compostos
A diferença essencial está na base de cálculo. Nos juros simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicial. Nos compostos, a base muda a cada período.
A pergunta decisiva é: a taxa incide sobre qual base?
O mesmo percentual pode gerar crescimentos muito diferentes dependendo de como a base evolui.
Juros compostos
A taxa é aplicada ao montante acumulado de cada período.
M = C(1 + i)t
Crescimento exponencial: o acréscimo por período muda.
Hipóteses destes modelos: C é o capital inicial, i é a taxa efetiva por período e t é o número de períodos na mesma unidade da taxa. O modelo não inclui aportes, retiradas, tarifas, tributos ou mudança de taxa durante o intervalo. Em situações reais, esses elementos precisam ser incorporados separadamente.
R$ 1.000 a 10% ao período.
Veja o que acontece quando a base permanece fixa ou passa a ser o montante anterior.
Simples
| t | Juros do período | Montante |
|---|---|---|
| 0 | — | 1.000 |
| 1 | 100 | 1.100 |
| 2 | 100 | 1.200 |
| 3 | 100 | 1.300 |
Compostos
| t | Juros do período | Montante |
|---|---|---|
| 0 | — | 1.000 |
| 1 | 100 | 1.100 |
| 2 | 110 | 1.210 |
| 3 | 121 | 1.331 |
Estrutura
linear≠exponencial
Nos simples, diferenças iguais. Nos compostos, fatores multiplicativos iguais.
Taxa, tempo e base precisam estar coerentes.
2% ao mês × 1 ano sem conversão
Unidades incompatíveis
Taxa e tempo precisam usar o mesmo período. Se a taxa é mensal, o tempo deve ser contado em meses ou a taxa precisa ser convertida de modo coerente.
10% de 1.000 em todos os compostos
Base fixa no modelo errado
Isso produziria juros simples. Nos compostos, a base é atualizada a cada período.
Somar 10% várias vezes
Confundir taxa acumulada
Em compostos, 10% por dois períodos significa multiplicar por 1,1 duas vezes: 1,1²=1,21, isto é, aumento acumulado de 21%, e não 20%.
R$ 2.000 a 5% ao mês por 3 meses.
Compare os dois modelos com a mesma taxa.
1
Simples: juros mensais = 5% de 2.000 = 100.
2
Após 3 meses: M=2.000+3·100=2.300.
3
Compostos: M=2.000·1,05³.
4
1,05³=1,157625, então M=R$ 2.315,25 neste cálculo idealizado.
Mude capital, taxa e tempo.
Compare o afastamento entre os modelos conforme o tempo aumenta. O laboratório usa taxas positivas constantes e períodos inteiros.
Simples
—
Compostos
—
Em qual modelo o acréscimo por período permanece constante, sob taxa e capital inicial fixos?
Pense no que acontece com a base a cada período.