Ordem importa
Em uma senha, AB e BA são sequências diferentes. Trocar posições produz outro resultado.
TEMA 50 · ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
Análise combinatória
Contar bem é organizar possibilidades sem omitir casos nem contá-los duas vezes. Antes de qualquer fórmula, identifique etapas, restrições, relevância da ordem e possibilidade de repetição.
Princípio multiplicativo.
Se um processo completo é construído por etapas sucessivas e, para cada escolha possível da primeira etapa, existem b possibilidades para a segunda e c para a terceira, o número de caminhos é o produto das quantidades de escolhas de cada etapa — desde que cada resultado completo seja contado exatamente uma vez.
Princípio aditivo: quando separamos a contagem em casos mutuamente exclusivos, somamos as quantidades de casos. Produto e soma respondem a estruturas lógicas diferentes: “etapa A e depois etapa B” versus “caso A ou caso B”, sem sobreposição.
A mesma coleção de objetos pode gerar contagens diferentes.
Ordem não importa
Em um grupo de duas pessoas escolhido para uma comissão sem cargos, {Ana, Bruno} e {Bruno, Ana} descrevem o mesmo grupo.
Repetição: dizer se uma escolha pode aparecer novamente muda as possibilidades disponíveis nas etapas seguintes. Essa condição precisa estar explícita antes da conta.
Fórmulas são consequências da estrutura.
Sempre multiplicar
Etapas ou casos?
Multiplicamos etapas sucessivas; somamos quantidades de casos disjuntos. Se os casos se sobrepõem, é preciso corrigir a dupla contagem.
Ignorar ordem
AB pode ou não ser igual a BA
A interpretação do problema determina se trocar posições cria um novo resultado.
Permitir repetição sem verificar
Restrição muda a contagem
Escolhas com e sem reposição produzem árvores de possibilidades diferentes.
3 camisetas, 4 calças e 2 pares de tênis.
Se um look é formado por exatamente uma peça de cada categoria e todas as combinações são permitidas, há 3·4·2=24 looks. Cada resultado é identificado por uma escolha em cada uma das três etapas.
Altere o número de opções por etapa.
Total de caminhos24
O simulador representa três etapas independentes no sentido de disponibilidade: cada opção de uma etapa pode ser combinada com todas as opções das outras. Restrições entre etapas exigiriam outro modelo de contagem.
Usando apenas as 26 letras A–Z e os 10 algarismos 0–9, uma senha tem 2 letras seguidas de 3 algarismos, com repetição permitida. Quantas senhas?
Leia as hipóteses antes de aplicar o princípio multiplicativo.