Cilindro
Com raio r e altura perpendicular h, V=πr²h.
TEMA 67 · GEOMETRIA
Cilindros, cones e esferas
Sólidos redondos conectam área do círculo e volume. As fórmulas fazem sentido quando identificamos corretamente raio, base e altura perpendicular.
Três sólidos, estruturas diferentes.
Cone
Com raio r e altura perpendicular h, V=πr²h/3.
Esfera
Com raio r, V=4πr³/3.
Comparação fundamental: cone e cilindro com a mesma área da base e a mesma altura têm volumes na razão 1:3.
Atenção à hipótese: a igualdade da área da base e da altura garante a razão 1:3. Fora dessas condições, compare os volumes pelas fórmulas; outras combinações de dimensões também podem produzir essa razão.
Volumes de sólidos semelhantes variam com o cubo da escala.
Se todas as medidas lineares de sólidos semelhantes são multiplicadas por k>0, seus volumes são multiplicados por k³. Isso vale, por exemplo, para esferas quando o raio é escalado e para cilindros semelhantes quando raio e altura são escalados pelo mesmo fator.
Comprimento, área da base e volume não são intercambiáveis.
V cilindro = 2πr
Isso é comprimento
O volume usa a área da base πr² multiplicada pela altura.
Cone = metade do cilindro
Fator incorreto
Com mesma base e altura, Vcone=Vcilindro/3.
Altura = geratriz
Medidas diferentes
No cone reto, a altura é perpendicular à base; a geratriz é o segmento inclinado da superfície lateral.
r=3 e h=5.
1
Cilindro: V=π·3²·5=45π.
2
Cone com a mesma base e altura: V=45π/3=15π.
3
Esfera de raio 3: V=4π·3³/3=36π.
4
A comparação 15π:45π confirma, neste exemplo, a razão 1:3.
Compare volumes com o mesmo raio.
A altura altera cilindro e cone; a esfera deste laboratório depende apenas do raio. Portanto, nem todas as comparações representam sólidos semelhantes.
Cilindro141,372
Cone47,124
Esfera113,097
Valores decimais aproximados; as expressões com π são exatas.
EXPLORE E VERIFIQUE
1 · Reconhecer
2 · Aplicar
3 · Analisar
Observe. Aplique. Justifique.
Compare configurações do laboratório e explique a relação encontrada. Depois, avance por três situações: reconhecer a ideia, aplicá-la e analisar um raciocínio.
Um cone e um cilindro têm a mesma área da base e a mesma altura perpendicular. Qual relação vale entre seus volumes?
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A igualdade da área da base e da altura garante a razão 1:3 entre os volumes do cone e do cilindro.
Um cone ideal cheio, de raio interno 3 cm e altura 6 cm, é despejado sem perdas num cilindro vazio de raio interno 3 cm e altura 10 cm. Que fração da capacidade do cilindro é preenchida?
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A fração preenchida é (π·3²·6/3)/(π·3²·10)=18/90=1/5.
Um cilindro tem raio 2 cm e altura 8 cm; um cone tem raio 4 cm e altura 6 cm. Um aluno disse que o cone tem sempre um terço do volume do cilindro. O que ocorre aqui?
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A relação de um terço é garantida quando área da base e altura são iguais; fora dessas condições, compare as fórmulas de cada sólido.
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Atividades HUBMAT · revisão editorial de setembro de 2026.