Cilindro
Com raio r e altura perpendicular h, V=πr²h.
TEMA 67 · GEOMETRIA
Cilindros, cones e esferas
Sólidos redondos conectam área do círculo e volume. As fórmulas fazem sentido quando identificamos corretamente raio, base e altura perpendicular.
Três sólidos, estruturas diferentes.
Cone
Com raio r e altura perpendicular h, V=πr²h/3.
Esfera
Com raio r, V=4πr³/3.
Comparação fundamental: cone e cilindro com a mesma área da base e a mesma altura têm volumes na razão 1:3.
Atenção à hipótese: o fator 1/3 não compara um cone qualquer com um cilindro qualquer; é necessário manter iguais a área da base e a altura.
Volumes de sólidos semelhantes variam com o cubo da escala.
Se todas as medidas lineares de sólidos semelhantes são multiplicadas por k>0, seus volumes são multiplicados por k³. Isso vale, por exemplo, para esferas quando o raio é escalado e para cilindros semelhantes quando raio e altura são escalados pelo mesmo fator.
Comprimento, área da base e volume não são intercambiáveis.
V cilindro = 2πr
Isso é comprimento
O volume usa a área da base πr² multiplicada pela altura.
Cone = metade do cilindro
Fator incorreto
Com mesma base e altura, Vcone=Vcilindro/3.
Altura = geratriz
Medidas diferentes
No cone reto, a altura é perpendicular à base; a geratriz é o segmento inclinado da superfície lateral.
r=3 e h=5.
1
Cilindro: V=π·3²·5=45π.
2
Cone com a mesma base e altura: V=45π/3=15π.
3
Esfera de raio 3: V=4π·3³/3=36π.
4
A comparação 15π:45π confirma a razão 1:3 apenas para o cone e o cilindro correspondentes.
Compare volumes com o mesmo raio.
A altura altera cilindro e cone; a esfera deste laboratório depende apenas do raio. Portanto, nem todas as comparações representam sólidos semelhantes.
Cilindro141,372
Cone47,124
Esfera113,097
Valores decimais aproximados; as expressões com π são exatas.
Cone e cilindro com mesma base e altura: qual relação?
Observe a hipótese, não apenas a fórmula.