d=Δx+Δy
Distância direta não é soma de deslocamentos
Um percurso ortogonal mede |Δx|+|Δy|; a soma com sinais Δx+Δy pode até cancelar. A distância euclidiana do segmento AB é obtida por Pitágoras.
TEMA 66 · GEOMETRIA
Distância e ponto médio
A distância euclidiana entre dois pontos nasce das diferenças horizontal e vertical e do Teorema de Pitágoras. O ponto médio fica exatamente na metade do segmento que une esses pontos.
Transforme dois pontos em um triângulo retângulo.
Para A(x₁,y₁) e B(x₂,y₂), definimos Δx=x₂−x₁ e Δy=y₂−y₁. Em um desenho cartesiano, os módulos dessas variações são os comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo associado ao segmento AB.
Distância: d=√[(Δx)²+(Δy)²]. Ponto médio: M=((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2).
Por que a fórmula da distância funciona? Pelo Teorema de Pitágoras, d²=(Δx)²+(Δy)². Como distância é não negativa, escolhemos a raiz quadrada não negativa.
Não misture diferenças, médias e distância.
M=(x₂−x₁,y₂−y₁)
Isso é um deslocamento
O ponto médio usa as médias das coordenadas, não suas diferenças.
Usar sinais sem quadrar
Comprimentos não dependem da orientação
Trocar A por B muda os sinais de Δx e Δy, mas seus quadrados — e a distância — permanecem iguais.
A(1,2) e B(4,6).
1
Δx=4−1=3 e Δy=6−2=4.
2
d=√(3²+4²)=√25=5.
3
M=((1+4)/2,(2+6)/2)=(2,5; 4).
4
Verificação do ponto médio: de A até M, a variação é (1,5;2); de M até B, é novamente (1,5;2).
Mova A e B.
Observe que inverter os pontos muda os sinais das diferenças, mas não altera a distância nem o ponto médio.
A(1; 2) · B(4; 6)
DiferençasΔx=3, Δy=4
Distância5
Ponto médio(2,5; 4)
EXPLORE E VERIFIQUE
1 · Reconhecer
2 · Aplicar
3 · Analisar
Observe. Aplique. Justifique.
Compare configurações do laboratório e explique a relação encontrada. Depois, avance por três situações: reconhecer a ideia, aplicá-la e analisar um raciocínio.
Qual é a distância euclidiana entre (0;0) e (6;8), em unidades do plano?
Ver a explicação
As diferenças horizontal e vertical são catetos de um triângulo retângulo.
Um cabo retilíneo liga A=(−3;1) a B=(5;5), em metros. Em que ponto deve ser colocada uma marca exatamente na metade do cabo?
Ver a explicação
O ponto médio divide o segmento em partes de mesmo comprimento e usa a média de cada coordenada.
Para A=(4;1) e B=(1;5), um aluno calculou d=(1−4)+(5−1)=1. Qual correção é necessária?
Ver a explicação
A soma assinada −3+4 não mede o comprimento do segmento; o deslocamento tem componentes perpendiculares.
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Atividades HUBMAT · revisão editorial de setembro de 2026.