d=Δx+Δy
Distância direta não é soma de deslocamentos
Essa soma descreve outro tipo de percurso. A distância euclidiana do segmento AB é obtida por Pitágoras.
TEMA 66 · GEOMETRIA
Distância e ponto médio
A distância euclidiana entre dois pontos nasce das diferenças horizontal e vertical e do Teorema de Pitágoras. O ponto médio fica exatamente na metade do segmento que une esses pontos.
Transforme dois pontos em um triângulo retângulo.
Para A(x₁,y₁) e B(x₂,y₂), definimos Δx=x₂−x₁ e Δy=y₂−y₁. Em um desenho cartesiano, os módulos dessas variações são os comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo associado ao segmento AB.
Distância: d=√[(Δx)²+(Δy)²]. Ponto médio: M=((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2).
Por que a fórmula da distância funciona? Pelo Teorema de Pitágoras, d²=(Δx)²+(Δy)². Como distância é não negativa, escolhemos a raiz quadrada não negativa.
Não misture diferenças, médias e distância.
M=(x₂−x₁,y₂−y₁)
Isso é um deslocamento
O ponto médio usa as médias das coordenadas, não suas diferenças.
Usar sinais sem quadrar
Comprimentos não dependem da orientação
Trocar A por B muda os sinais de Δx e Δy, mas seus quadrados — e a distância — permanecem iguais.
A(1,2) e B(4,6).
1
Δx=4−1=3 e Δy=6−2=4.
2
d=√(3²+4²)=√25=5.
3
M=((1+4)/2,(2+6)/2)=(2,5; 4).
4
Verificação do ponto médio: de A até M, a variação é (1,5;2); de M até B, é novamente (1,5;2).
Mova A e B.
Observe que inverter os pontos muda os sinais das diferenças, mas não altera a distância nem o ponto médio.
A(1,2) · B(4,6)
DiferençasΔx=3, Δy=4
Distância5
Ponto médio(2,5; 4)
Entre (0,0) e (6,8), a distância é...
Pense no triângulo retângulo formado.