0,33 = 1/3
Aproximação ≠ igualdade
0,33 é 33/100. Para 1/3, precisamos indicar a repetição infinita: 0,333...
TEMA 47 · NÚMEROS E OPERAÇÕES
Dízimas e frações
A expansão decimal de um número racional termina ou se torna periódica. Essa estrutura está ligada aos fatores do denominador depois que a fração é reduzida.
Por que 1/8 termina e 1/3 repete?
Depois de reduzir a fração, sua expansão decimal é finita exatamente quando o denominador possui apenas os fatores primos 2 e/ou 5. Isso ocorre porque uma potência de 10 tem a forma 2ᵐ·5ᵐ.
Exemplos: 1/8=0,125 porque 8=2³. Já 1/3=0,333... porque 3 não divide nenhuma potência de 10.
Repetição infinita pode representar um valor exato.
0,333... é exatamente 1/3, não uma sequência de aproximações sem valor definido. Do mesmo modo, 0,999...=1.
Conversão algébrica: se x=0,333..., então 10x=3,333...; subtraindo as igualdades, 9x=3 e x=1/3.
A escrita com reticências só é rigorosa quando o padrão de repetição está claro. Em textos mais formais, também podemos usar uma barra sobre o período.
Aproximação, igualdade e repetição precisam ser distinguidas.
Toda fração gera dízima
Há decimais finitos
1/4=0,25 e 3/20=0,15.
Toda expansão infinita é periódica
Irracionais existem
Números irracionais têm expansão decimal infinita e não periódica.
Explore 1/d.
Quando a expansão é periódica, o laboratório mostra apenas seu início e acrescenta reticências; não trata a aproximação exibida como igualdade exata.
Expansão decimal0,125
Tipodecimal finito
No denominador reduzido só aparecem fatores 2 e/ou 5.
Qual fração tem decimal finito?
Analise a fatoração do denominador reduzido.