a>1
A função exponencial é estritamente crescente. Exemplo: 2ˣ.
TEMA 61 · ÁLGEBRA E FUNÇÕES
Funções exponenciais e logarítmicas
Na função exponencial f(x)=aˣ, com a>0 e a≠1, a variável aparece no expoente e cada aumento unitário em x multiplica o valor por a. O logaritmo responde à pergunta inversa: a que expoente devemos elevar a base para obter determinado valor positivo?
Exponencial descreve mudança multiplicativa.
Em f(x)=aˣ, aumentar x em 1 multiplica o valor da função por a.
Para f(x)=2ˣ: f(0)=1, f(1)=2, f(2)=4, f(3)=8. Os aumentos absolutos não são constantes, mas a razão entre valores consecutivos é 2.
0<a<1
A função exponencial é estritamente decrescente. Exemplo: (1/2)ˣ.
Conexão com PG: quando observamos uma função exponencial em valores inteiros consecutivos de x, obtemos uma progressão geométrica de razão positiva a.
Logaritmo desfaz uma potenciação.
2³=8 e log₂(8)=3 expressam a mesma relação.
Forma exponencial
2³=8
Forma logarítmica
log₂(8)=3
Pergunta
“A que expoente devo elevar 2 para obter 8?” A resposta é 3.
As condições garantem uma função exponencial real invertível.
a > 0
A base positiva mantém aˣ real e positiva para todo x real.
a ≠ 1
Se a=1, a função fica constante e não possui inversa logarítmica.
Domínio e imagem: f(x)=aˣ tem domínio ℝ e imagem (0,+∞). Sua inversa logₐ(x) tem domínio (0,+∞) e imagem ℝ.
As propriedades refletem a estrutura da potenciação.
log(a+b)=log a+log b
Distribuir logaritmo sobre soma
Essa propriedade não existe. Para argumentos positivos, logₐ(xy)=logₐx+logₐy; a soma comum não se transforma dessa maneira.
log₁(10)
Usar base 1
A base 1 não é permitida porque 1ˣ é sempre 1 e não produz uma função invertível.
Toda exponencial cresce
Ignorar bases entre 0 e 1
Se 0<a<1, a função aˣ é decrescente.
Resolva 3ˣ=81.
O logaritmo pode ser entendido antes mesmo de usar qualquer calculadora.
1
Pergunte: qual potência de 3 produz 81?
2
3¹=3, 3²=9, 3³=27 e 3⁴=81.
3
Logo, x=4 e, de forma equivalente, log₃(81)=4.
Veja exponencial e logaritmo como operações inversas.
O laboratório usa bases maiores que 1 para destacar crescimento. O caso de decaimento 0<a<1 foi tratado conceitualmente acima.
Exponencial
Logaritmo inverso
Se log₂(32)=x, qual é x?
Pergunte qual potência de 2 produz 32.
Exponenciais ligam sequências, finanças e modelos de crescimento ou decaimento.
Modelo discretoPG positiva
→
Mudança multiplicativaExponencial
↔
InversaLogaritmo
→
AplicaçõesJuros e escalas