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Multiplicamos sempre por 2.
TEMA 60 · ÁLGEBRA E FUNÇÕES
Progressão geométrica
Uma progressão geométrica é uma sequência para a qual existe uma constante q tal que cada termo seguinte é q vezes o anterior: aₙ₊₁=q·aₙ. Essa definição funciona inclusive quando aparecem termos nulos.
A relação fundamental é multiplicativa.
Na sequência 3, 6, 12, 24, ... cada termo é o anterior multiplicado por 2.
Razão q: a definição aₙ₊₁=q·aₙ é a mais segura. O quociente q=aₙ₊₁/aₙ só pode ser usado quando o termo no denominador é diferente de zero.
Para termos positivos, q>1 produz crescimento, 0<q<1 produz decaimento e q=1 produz sequência constante. Se q=0, a partir do segundo termo todos os termos são zero. Razões negativas podem alternar sinais.
Na PG, o fator entre termos pode ser constante mesmo quando as diferenças mudam.
Diferenças
+3+6+12
Não são constantes: por isso não é PA.
Quocientes
6/312/624/12=2
Neste exemplo, os divisores são não nulos e o quociente pode ser usado.
Por que a razão aparece elevada a n−1?
Quando q≠0, do primeiro termo ao termo de posição n fazemos n−1 multiplicações pela razão.
PG: 3, 6, 12, 24, ... Qual é o 8º termo?
1
a₁=3 e q=2.
2
a₈=3·2⁷ porque existem 7 passos multiplicativos.
3
2⁷=128; então a₈=384.
Caso q=0: é melhor evitar escrever a₁·0⁰ para o primeiro termo. Usamos diretamente a₁ como termo inicial e, para n≥2, aₙ=0. Assim não dependemos de atribuir um valor a 0⁰.
PG não é “PA com outra fórmula”.
3,6,12,24 tem razão 3
Usar diferença
As diferenças são 3, 6 e 12. A razão multiplicativa é 2.
q=aₙ₊₁/aₙ sempre
Divisão por zero
Se aₙ=0, esse quociente não está definido. A relação aₙ₊₁=q·aₙ é a definição que continua válida.
Toda PG é gráfico de y=a·qˣ nos reais
Ignorar o sinal da base
Quando q>0, a fórmula da PG se conecta naturalmente a uma função exponencial real. Para q<0, qˣ não define uma função real para todo x real.
Explore crescimento, alternância e o caso q=0.
O laboratório usa a relação recursiva aₙ₊₁=q·aₙ. Assim, valores negativos e zero são tratados sem depender de quocientes.
Qual sequência é uma PG de razão −2?
A razão pode ser negativa.
PGs de razão positiva se conectam diretamente a modelos exponenciais reais.
BaseSequências
→
Fator constantePG
→
q>0Exponencial
→
AplicaçãoJuros compostos