Diretamente proporcionais
Quando uma grandeza é multiplicada por um fator, a outra também é multiplicada pelo mesmo fator. A razão y/x permanece constante: y = kx, para x≠0; equivalentemente, a relação inclui a origem no modelo y=kx.
TEMA 55 · GRANDEZAS E MEDIDAS
Proporcionalidade direta e inversa
Duas grandezas podem variar juntas de maneiras diferentes. O rigor está em identificar o que permanece constante — não em escolher automaticamente uma regra de três.
O que caracteriza cada relação?
Procure um invariante: algo que permanece igual enquanto os valores mudam.
Inversamente proporcionais
Quando uma grandeza é multiplicada por um fator não nulo, a outra é dividida por esse fator. O produto x·y permanece constante: xy = k, no domínio considerado.
Critério matemático: “uma aumenta e a outra também” não basta para provar proporcionalidade direta. É necessário verificar razão constante. Do mesmo modo, “uma aumenta e a outra diminui” não prova proporcionalidade inversa; é necessário produto constante.
O padrão aparece nos números.
Direta: preço por unidade
| x | y | y/x |
|---|---|---|
| 2 | 10 | 5 |
| 4 | 20 | 5 |
| 6 | 30 | 5 |
Inversa: trabalhadores × tempo
| x | y | x·y |
|---|---|---|
| 2 | 12 | 24 |
| 4 | 6 | 24 |
| 8 | 3 | 24 |
Não proporcional
| x | y | y/x |
|---|---|---|
| 1 | 12 | 12 |
| 2 | 19 | 9,5 |
| 3 | 26 | 8,67 |
A razão muda: não é proporcionalidade direta.
Antes do cálculo, classifique a relação.
“Dobrou x, então y dobra”
Sem verificar a razão
Isso só é válido na proporcionalidade direta. Em relações com taxa fixa mais parcela inicial, por exemplo, a regra falha.
“Aumenta/diminui = inversa”
Sem verificar o produto
Para ser inversamente proporcional, x·y precisa permanecer constante.
Regra de três automática
Procedimento sem modelo
Primeiro determine a natureza da relação; só depois escolha uma estratégia de cálculo.
6 trabalhadores fazem um serviço em 10 dias. E 12?
Suponha produtividade constante, trabalhadores equivalentes, trabalho divisível e o mesmo volume de trabalho.
1
Dobrar trabalhadores deve reduzir o tempo, então testamos um modelo inversamente proporcional.
2
O produto precisa permanecer constante: 6·10 = 60 trabalhador-dias.
3
12·t = 60, logo t = 5 dias.
4
Verificação: 12·5 = 60. O invariante foi preservado nas hipóteses do modelo.
Mude x e observe o invariante.
Compare y = 4x com xy = 24.
x = 3 · y = 12 · y/x = 4
| x | y | invariante |
|---|
EXPLORE E VERIFIQUE
1 · Reconhecer
2 · Aplicar
3 · Analisar
Observe. Aplique. Justifique.
Compare configurações do laboratório e explique a relação encontrada. Depois, avance por três situações: reconhecer a ideia, aplicá-la e analisar um raciocínio.
Qual tabela representa grandezas inversamente proporcionais nos pares apresentados?
Ver a explicação
Proporcionalidade inversa exige produto constante, não apenas alguma tendência de crescimento ou queda.
Três bombas idênticas enchem um reservatório em 4 horas. Se seis bombas trabalharem juntas com a mesma vazão constante, sem interferência, quanto tempo levarão para encher o mesmo volume?
Ver a explicação
Com volume fixo e vazões que se somam, dobrar a quantidade de bombas reduz o tempo à metade.
Uma entrega custa y=5+3x reais para x quilômetros. Um aluno diz que preço e distância são diretamente proporcionais porque ambos aumentam. O que mostra o erro?
Ver a explicação
Crescimento conjunto não basta: a parcela inicial de 5 reais impede razão y/x constante.
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Atividades HUBMAT · revisão editorial de setembro de 2026.