Equação
2x + 1 = 7 tem uma solução real: x = 3.
TEMA 56 · ÁLGEBRA E FUNÇÕES
Inequações e intervalos
Uma inequação não procura necessariamente um único valor: procura todos os números que tornam uma comparação verdadeira. A resposta é um conjunto de soluções.
Equação e inequação não respondem à mesma pergunta.
Uma equação busca valores que produzem igualdade; uma inequação busca valores que satisfazem uma relação de ordem.
Inequação
2x + 1 < 7 tem infinitas soluções reais: todos os x menores que 3.
Ideia central: a solução de x < 3 não é apenas “3”. O número 3 é a fronteira e não pertence ao conjunto solução.
Intervalos tornam o conjunto visível.
Ponto aberto exclui a fronteira; ponto fechado inclui. O infinito nunca é uma extremidade pertencente ao conjunto.
x < 3
3
3 não pertence ao conjunto. Intervalo: ]−∞, 3[.
x ≤ 3
3
3 pertence ao conjunto. Intervalo: ]−∞, 3].
1 < x ≤ 4
1< x ≤4
1 é excluído e 4 é incluído.
Somar preserva a ordem; multiplicar depende do sinal.
As regras vêm das propriedades de ordem dos números reais.
✓
Somar ou subtrair o mesmo número nos dois lados preserva o sentido da desigualdade.
✓
Multiplicar ou dividir os dois lados pelo mesmo número positivo preserva o sentido.
✓
Multiplicar ou dividir os dois lados pelo mesmo número negativo inverte o sentido.
!
Dividir por zero não é permitido.
Por exemplo, 2<5. Multiplicando ambos os lados por −1, obtemos −2>−5.
Resolva −2x > 6.
1
Divida os dois lados por −2.
2
Como o divisor é negativo, a ordem se inverte: x < −3.
3
Teste x=−4: −2·(−4)=8>6. O valor pertence ao conjunto solução.
O símbolo faz parte do significado.
x < 3 → x = 3
Confundir fronteira com solução
3 marca o limite, mas não pertence ao conjunto quando a desigualdade é estrita.
−2x > 6 → x > −3
Não inverter a ordem
Dividir por −2 inverte a desigualdade: x < −3.
Multiplicar por 0 para “simplificar”
Perder informação
De x<3, multiplicar ambos os lados por 0 produz 0≤0, que já não é equivalente à condição original. Transformações devem preservar o conjunto solução.
Teste valores em 2x + 1 < 7.
Observe quais números pertencem ao conjunto solução.
2·0 + 1 = 1 < 7 ✓
0 pertence ao conjunto solução.
Qual é a solução de 3x − 2 ≥ 7?
Uma inequação descreve um conjunto de valores.