Potência
7²=49
TEMA 45 · NÚMEROS E OPERAÇÕES
Potências e raízes
Para expoentes inteiros positivos, potenciação organiza multiplicações repetidas de uma mesma base. As extensões para expoente zero e negativo são definidas de modo a preservar propriedades algébricas. A radiciação responde a uma pergunta inversa em domínios adequados.
Base e expoente têm papéis diferentes.
Em 3⁴, a base 3 é o fator repetido e o expoente positivo 4 indica quantas vezes esse fator aparece.
3⁴=3·3·3·3=81. O expoente 4 não significa multiplicar 3 por 4.
A leitura como “multiplicação repetida” explica diretamente expoentes inteiros positivos. Para outros expoentes, precisamos ampliar a definição de maneira coerente com as propriedades das potências.
√49 é 7, mas x²=49 tem duas soluções reais.
Raiz quadrada principal
√49=7
Por definição, √a é não negativa quando a≥0.
Equação
x²=49→x=±7
A equação pergunta por todos os números reais cujo quadrado vale 49.
Consequência importante: para todo número real a, √(a²)=|a|. Por exemplo, √((-5)²)=√25=5=|−5|, não −5.
As regras dependem das operações e das condições.
Mesma base, multiplicação
aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ
Para expoentes inteiros positivos, juntamos fatores iguais; a identidade se estende a outros expoentes quando as potências envolvidas estão definidas.
Expoente zero
a⁰=1
Para a≠0. Isso preserva, por exemplo, aᵐ/aᵐ=a⁰=1.
Expoente inteiro negativo
a⁻ⁿ=1/aⁿ
Para a≠0 e n>0.
Raízes de índice par exigem atenção ao radicando.
√a nos reais
Está definida para a≥0. Não existe número real cujo quadrado seja negativo.
Raiz de índice ímpar
Uma raiz cúbica real, por exemplo, pode ter radicando negativo: ∛(−8)=−2.
O contexto importa: no conjunto dos números complexos, raízes de números negativos podem ser tratadas de outra forma. Nesta página, a referência é o conjunto dos números reais.
Nem toda operação permite mexer nos expoentes ou distribuir a raiz.
2³=2·3
Confundir expoente com multiplicador
2³=2·2·2=8.
2³+2²=2⁵
Somar expoentes numa adição
A propriedade aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ é uma regra de multiplicação de potências de mesma base, não de soma.
√(a+b)=√a+√b
Distribuir raiz sobre soma
Em geral isso é falso. Por exemplo, √(9+16)=5, enquanto √9+√16=7.
√(x²)=x sempre
Esquecer a raiz principal
Nos reais, √(x²)=|x|. Se x=−3, o lado esquerdo vale 3.
Altere base positiva e expoente inteiro não negativo.
O simulador usa um domínio simples para tornar visível a multiplicação repetida e o caso do expoente zero.
Qual igualdade vale para todo número real x?
Diferencie o valor do símbolo √ da resolução de uma equação quadrática.
Potências sustentam notação científica, PG e funções exponenciais.
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