Quadrado da soma
(a+b)²=a²+2ab+b²
TEMA 06 · ÁLGEBRA E FUNÇÕES
Produtos notáveis
Produtos notáveis não são fórmulas isoladas para memorizar. São padrões de multiplicação que podem ser explicados pela distributividade e também, quando as grandezas representam comprimentos não negativos, por modelos de área.
Por que (a+b)² não é a²+b²?
Porque elevar uma soma ao quadrado significa multiplicar a soma por ela mesma.
(a+b)² = (a+b)(a+b). Aplicando a distributividade: a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
O termo 2ab tem origem concreta: surgem dois produtos cruzados, a·b e b·a. Ele não aparece por uma regra arbitrária.
A identidade algébrica vale para quaisquer números reais a e b. A interpretação geométrica por áreas, porém, exige que os segmentos usados no desenho representem comprimentos não negativos.
Um quadrado de lado x+a explica a identidade quando x≥0 e a≥0.
Nesse modelo, x e a são comprimentos. A restrição pertence ao desenho geométrico, não à identidade algébrica.
x²
3x
3x
9
A área total é x² + ax + ax + a² = x² + 2ax + a².
Reconheça a estrutura antes de usar uma identidade.
Quadrado da diferença
(a−b)²=a²−2ab+b²
Diferença de quadrados
(a+b)(a−b)=a²−b²
O erro mais frequente é apagar os termos cruzados.
(x+4)² = x²+16
Esquecer 2·x·4
O correto é x²+8x+16.
(x−3)² = x²−9
Confundir com diferença de quadrados
(x−3)² é x²−6x+9. Já (x+3)(x−3)=x²−9.
Usar fórmula sem reconhecer o formato
Aplicação automática
Primeiro identifique qual produto está presente; depois escolha a estratégia.
Altere a parcela constante e acompanhe a expansão.
O laboratório usa valores positivos de a para manter válida também a interpretação por áreas.
EXPLORE E VERIFIQUE
1 · Reconhecer
2 · Aplicar
3 · Analisar
Observe. Aplique. Justifique.
Compare configurações do laboratório e explique a relação encontrada. Depois, avance por três situações: reconhecer a ideia, aplicá-la e analisar um raciocínio.
Para todo real x, qual é a expansão de (x + 5)²?
Ver a explicação
Quadrado da soma: (a + b)² = a² + 2ab + b². O termo central aqui é 10x.
Um pátio quadrado de lado x metros, com x > 0, terá cada lado aumentado em 3 m. Qual expressão representa somente a área acrescentada?
Ver a explicação
A nova área é x² + 6x + 9. Subtrair a área inicial x² deixa duas faixas de área 3x e o quadrado de área 9.
Uma aluna afirma que (a − b)² = a² − b² para quaisquer reais a e b. Qual comparação com a = 5 e b = 2 refuta a identidade?
Ver a explicação
Quadrado da diferença contém o termo cruzado: (a − b)² = a² − 2ab + b². Diferença de quadrados é outra expressão.
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Atividades HUBMAT · revisão editorial de setembro de 2026.
Produtos notáveis são uma ponte para fatoração.
BaseDistributividade
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EstruturaPolinômios
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Processo inversoFatoração