Fator comum
6x+9=3(2x+3)
Procure um fator comum a todos os termos e, quando for útil, coloque em evidência o maior fator comum.
TEMA 58 · ÁLGEBRA E FUNÇÕES
Fatoração
Fatorar é reescrever uma expressão como produto. É o caminho inverso da distributividade e uma ferramenta para enxergar estrutura, simplificar expressões e resolver equações.
Fatoração é distributividade ao contrário.
Se 3(x+4)=3x+12, então 3x+12=3(x+4).
Ideia central: uma mesma expressão pode aparecer como soma ou como produto. A forma fatorada evidencia os fatores que geram a expressão.
Essa mudança de representação não altera o valor da expressão; altera a forma como sua estrutura fica visível. Uma fatoração está correta se a expansão do produto devolve exatamente a expressão original.
Não existe uma única “fórmula de fatoração”.
Diferença de quadrados
x²−25=(x−5)(x+5)
Reconheça a²−b²=(a−b)(a+b).
Trinômio mônico com fatores simples
x²+5x+6=(x+2)(x+3)
Quando buscamos uma fatoração do tipo (x+p)(x+q), precisamos de p+q=5 e pq=6. Nem todo trinômio quadrático se fatora dessa forma com inteiros.
Fatore x²+7x+12.
Procure dois números que expliquem simultaneamente o termo linear e o termo constante.
1
Precisamos de dois números cuja soma seja 7.
2
E cujo produto seja 12.
3
3 e 4 satisfazem as duas condições.
4
Logo, x²+7x+12=(x+3)(x+4). Expandir novamente confirma o resultado.
Fatorar exige verificar todas as condições.
x²+7x+12=(x+2)(x+6)
Olhar apenas o produto
2·6=12, mas 2+6=8. A expansão não devolve o polinômio original.
x²−16=(x−4)²
Confundir padrões
x²−16 é diferença de quadrados: (x−4)(x+4).
Todo x²+bx+c tem fatores inteiros
Generalização indevida
Por exemplo, x²+x+1 não possui raízes reais e não pode ser escrito como produto de dois fatores lineares reais. O conjunto numérico e o tipo de fator procurado importam.
Construa um trinômio a partir de seus fatores.
Altere p e q em (x+p)(x+q). A soma p+q controla o coeficiente de x e o produto pq controla o termo constante, inclusive quando os sinais mudam.
x² + 5x + 6↔(x + 2)(x + 3)
Qual fatoração de x²+9x+20 está correta?
Duas condições precisam ser satisfeitas.
Fatoração revela a estrutura escondida.
ExpansãoDistributividade
↔
PadrõesProdutos notáveis
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AplicaçãoEquações