Coeficiente a
a>0: concavidade para cima; a<0: para baixo. Em y=ax², maior |a| produz parábola mais estreita na escala usual dos eixos.
TEMA 30 · ÁLGEBRA E FUNÇÕES
Função quadrática
Uma função quadrática real tem a forma f(x)=ax²+bx+c, com a≠0. Seu gráfico é uma parábola; concavidade, zeros, eixo de simetria, vértice e intercepto em y descrevem aspectos diferentes da função.
A variação já não é constante como na função afim.
Em f(x)=x², para x=0,1,2,3,4 obtemos 0,1,4,9,16. As primeiras diferenças são 1,3,5,7 e as segundas diferenças são constantes e iguais a 2.
Estrutura: para uma função quadrática amostrada em passos iguais de x, as segundas diferenças são constantes; seu valor depende de a e do tamanho do passo. Isso é uma assinatura discreta da curvatura quadrática.
Cada elemento responde a uma pergunta.
Zeros reais
São os x para os quais f(x)=0. O discriminante Δ=b²−4ac indica quantos zeros reais existem: Δ>0 dois distintos, Δ=0 um zero duplo, Δ<0 nenhum zero real.
Vértice e eixo
O eixo de simetria é x=−b/(2a). O vértice é o ponto de mínimo se a>0 e de máximo se a<0.
Raiz, vértice, intercepto e coeficiente não são sinônimos.
c = raiz
Confundir interceptos
c=f(0), a ordenada do ponto em que o gráfico encontra o eixo y. Zeros são valores de x que satisfazem f(x)=0.
a<0 → raízes negativas
Concavidade não determina sinais dos zeros
O sinal de a determina a concavidade, não os pontos onde a parábola cruza o eixo x.
Δ<0 → função não existe
Confundir função com zeros reais
A função polinomial está definida para todo x real; quando Δ<0, apenas não possui zeros reais.
Analise f(x)=x²−4.
1
a=1>0: a parábola abre para cima.
2
f(0)=−4: intercepto em y no ponto (0,−4).
3
x²−4=0 → (x−2)(x+2)=0 → x=−2 ou x=2.
4
Eixo de simetria x=0 e vértice (0,−4).
Explore y=ax²+c e o caso-limite a=0.
Quando a≠0, a família é quadrática. Quando a=0, o termo quadrático desaparece e o gráfico vira a reta horizontal y=c; esse não exemplo explica a condição a≠0.
y = x² − 4Abre para cima · vértice (0, −4).
Quais são os zeros de x²−9?
Procure todos os valores de x que zeram a função.