Simbólica
x+y=10x−y=2
TEMA 31 · ÁLGEBRA E FUNÇÕES
Sistemas de equações
Resolver um sistema é encontrar todos os valores que satisfazem simultaneamente todas as equações. Em duas equações lineares com duas incógnitas, a interpretação gráfica envolve duas retas.
Uma solução precisa satisfazer todas as condições.
x+y=10x−y=2
O par ordenado (6,4) satisfaz as duas equações: 6+4=10 e 6−4=2. Portanto pertence ao conjunto solução.
Ideia central: funcionar em apenas uma equação não basta. Também não devemos pressupor que todo sistema tenha exatamente uma solução.
Álgebra e geometria descrevem o mesmo conjunto solução.
Tabelas
| x | y na 1ª | y na 2ª |
|---|---|---|
| 4 | 6 | 2 |
| 6 | 4 | 4 |
| 8 | 2 | 6 |
Quando as duas condições dão o mesmo y para o mesmo x, encontramos um ponto comum.
Gráfica
reta 1∩reta 2
As soluções são exatamente os pontos comuns aos gráficos.
Duas equações lineares no plano podem representar três situações.
Uma solução
Retas distintas e concorrentes têm um único ponto comum.
Nenhuma solução
Retas paralelas distintas não têm ponto comum. Uma eliminação correta pode produzir uma contradição, como 0=5.
Infinitas soluções
Equações equivalentes representam a mesma reta. Uma eliminação pode produzir uma identidade, como 0=0; então todo ponto da reta comum é solução.
As transformações devem preservar o conjunto solução.
Substituição
Isole uma incógnita numa equação e substitua a expressão equivalente na outra.
Eliminação
Multiplique uma equação inteira por constante não nula quando necessário e some/subtraia equações para eliminar uma incógnita.
No sistema x+y=10 e x−y=2, somar as equações produz 2x=12, então x=6. Substituindo numa equação original, y=4.
Interprete o resultado da eliminação corretamente.
x=6
Resposta incompleta
Para uma solução única em duas incógnitas, precisamos do par completo.
Funciona em uma equação
Condição insuficiente
A solução precisa satisfazer todas as equações do sistema.
0=0 → x=0
Identidade não fixa a incógnita
0=0 pode indicar equações dependentes. Se o sistema for consistente, haverá infinitas soluções, não necessariamente x=0.
Procure o ponto comum.
O laboratório está restrito a 0≤x,y≤10 porque o sistema escolhido tem solução (6,4); essa janela visual não limita a teoria geral de sistemas.
x+y = 10 ✓ · x−y = 0 ✗
Meta: faça as duas condições ficarem verdadeiras simultaneamente.
EXPLORE E VERIFIQUE
1 · Reconhecer
2 · Aplicar
3 · Analisar
Observe. Aplique. Justifique.
Compare configurações do laboratório e explique a relação encontrada. Depois, avance por três situações: reconhecer a ideia, aplicá-la e analisar um raciocínio.
Qual par ordenado(x, y) resolve simultaneamente x+y=10 e x −y=2?
Ver a explicação
O par completo é solução somente quando torna verdadeiras ambas as igualdades.
Uma compra tem 9 ingressos, entre inteiras de R$ 18 e meias de R$ 9, totalizando R$ 117. Quantas inteiras e quantas meias foram compradas?
Ver a explicação
O sistema é x+y=9 e 18 x+9 y=117. A contagem e o custo precisam valer ao mesmo tempo.
Ao resolver x+y=6 e 2 x+2 y=12 em ℝ², um aluno obtém 0=0 e conclui que só existe a solução(0,0). Qual avaliação é correta?
Ver a explicação
Equações dependentes e consistentes representam a mesma reta, de modo que seus pontos comuns são infinitos.
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Atividades HUBMAT · revisão editorial de setembro de 2026.